Chaos, mélange, ordre et structure

Physique appliquée | 45 pages | 01-07-2008 | Format : | Note : Non noté

PRIX : 9.00€ |

Résumé

S'il fallait résumer notre objectif scientifique principal, nous dirions qu'il était d'atteindre une bonne compréhension de l'apparition du chaos dans des systèmes dynamiques hamiltoniens, ainsi que de l'apparition de la science du chaos elle-même dans les mathématiques. Nous avons souhaité ne pas nous cantonner à des aspects purement théoriques de la science des systèmes dynamiques, et ouvrir notre étude à des problématiques concrètes. La section sur la théorie des nombres (théorèmes de van der Waerden et de Szemerédi) propose une application de la théorie ergodique à un autre domaine des mathématiques. L'étude du contrôle du chaos (méthode des barrières de transport) répond quant à elle au second objectif: il s'agit d'un sujet de recherche appliquée contemporain revêtant une grande importance économique, dans des installations comme les accélérateurs de particules ou les réacteurs à plasma. La méthode étudiée pourrait par exemple déboucher sur une application dans le cadre du projet ITER, où à l'heure actuelle le confinement du chaos nécessite un trop grand apport d'énergie. L'étude de la théorie KAM permet de faire le lien entre la théorie ergodique (puisqu'elle constitue une réfutation de l'hypothèse ergodique) et cette problématique de contrôle du chaos (puisqu'elle offre un cadre naturel à l'étude du chaos dans l'espace des phases d'un système).

Sommaire:

I) Introduction sur la stabilité et le chaos

II) Théorie ergodique

A. Les travaux de Boltzmann
B. Le théorème ergodique de Birkhoff
C. La loi forte des grands nombres de Kolmogorov

III) Théorie des nombres

A. Introduction
B. Le théorème de van der Waerden et les systèmes dynamiques topologiques
C. Le théorème de Szemerédi et les systèmes dynamiques mesurés

IV) Théorie KAM

A. Introduction
B. Le pendule percuté
C. Conjugaison des difféomorphismes du cercle à des rotations
D. KAM, le twist, Herman, Yoccoz...

V) Contrôle du chaos

A. Position du problème
B. Méthode des barrières de transport
C. Application au confinement magnétique
D. Application au pendule percuté

VI) Conclusion : sur l'ordre de la nature

A. Présentation des membres du groupe et retours d'expérience
B. Organisation du travail
C. Procédure Maple pour le pendule percuté

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