Etude et modélisation de la trajectoire d'une balle de tennis

Physique appliquée | 28 pages | 07-01-2008 | Format : | Note : 8.75/10

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Résumé

Détermination de l'équation du mouvement d'une balle de tennis et résolution numérique du problème posé (ci-dessus) à l'aide de Matlab. Le code principal est fourni en annexe.

Enoncé du problème:

Un joueur de tennis sert une balle depuis à 11.88 m du filet. Ce dernier a une hauteur de 91 cm. La balle doit atterrir au-delà de la ligne de service opposée à 18.3 m.

C'est un jour sans vent.
On ne néglige pas le frottement de l'air sur la balle (traînée). On considère le mouvement plan : la rotation de la balle se fait suivant une direction perpendiculaire au plan du mouvement (vitesse angulaire w)

Dans un premier temps, on considérera que la rotation propre de balle fait que la vitesse de l'air mis en déplacement par la balle est plus élevée sur sa face supérieure comparée à sa face inférieure.

Dans un deuxième temps en considéra l'inverse.

Par Bernouilli, cette différence va induire une différence de pression entre la face supérieure et inférieure qui se traduit par un force de portance.

On demande :

- Si on néglige le portance et la traînée, quelle vitesse initiale donner à la balle pour qu'elle touche juste le filet. Y a-t-il plusieurs angles de lancer possibles pour ce faire ?
- Si on néglige le portance et la traînée, quelle vitesse initiale (minimum) donner à la balle pour qu'elle atteigne la ligne de service opposée. Y a-t-il plusieurs angles de lancer possibles pour ce faire ?
- Que se passe-t-il si on augmente la vitesse du service
- Quel est l'effet de la traînée sur les résultats qui précèdent (on continuera à négliger la portance)
- Quel est l'effet cumulé de la portance et de la traînée sur les résultats qui précèdent.

On souhaite ensuite déterminer l'effet de la portance et de la traînée sur le premier rebond de la balle. Est-il possible de jouer sur la traînée pour obtenir des effets qui désarçonnent l'adversaire ? Pour la modélisation du rebond, on considérera que le coefficient de restitution est compris entre 0.7 pour de faibles vitesses et 0.5 pour de grandes vitesses.

La portance peut-elle encore apporter plus d'effets désarçonnants ? La rotation propre de la balle a pour effet de donner une vitesse supplémentaire à la balle suivant la direction horizontale : si on néglige tout glissement, la balle squ tourne donne une vitesse supplémentaire ω.R suivant une direction horizontale de même sens que le mouvement à la balle.

Sommaire:

I) Introduction

II) Modélisation mathématique du mouvement de la balle

A. La force pesanteur
B. La trainée ou la force de frottement
C. L'effet magnus
D. Equation du mouvement de la balle de tennis
E. Simplification du problème sur base de l'énonce
F. Equation du mouvement de la balle dans le plan (x,z)
G. Expression des équations en équations différentielles du 1er ordre

III) Etudes des résultats de simulation sur matlab

A. Rappels des données initiales
B. Sans portance et sans trainée
C. Sans portance mais avec trainée
D. Avec portance et trainée

- Effet de la portance et de la trainée sur le premier rebond
- Exemples d'effets pour désarçonner l'adversaire

Annexe : code matlab

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